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国際数学オリンピック
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1979年
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第5問
第5問
非負実数
a
a
a
が存在して
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
x_1,x_2,x_3,x_4,x_5
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
、
∑
k
=
1
5
k
x
k
=
a
\sum_{k=1}^5kx_k=a
∑
k
=
1
5
k
x
k
=
a
、
∑
k
=
1
5
k
3
x
k
=
a
2
\sum_{k=1}^5k^3x_k=a^2
∑
k
=
1
5
k
3
x
k
=
a
2
を満たすような実数
∑
k
=
1
5
k
5
x
k
=
a
3
\sum_{k=1}^5k^5x_k=a^3
∑
k
=
1
5
k
5
x
k
=
a
3
をすべて求めよ。
ステップ 1/4: 3式を組み合わせる
前のステップ
次のステップ
a
2
∑
k
=
1
5
k
x
k
−
2
a
∑
k
=
1
5
k
3
x
k
+
∑
k
=
1
5
k
5
x
k
=
0
a^2\sum_{k=1}^5kx_k-2a\sum_{k=1}^5k^3x_k+\sum_{k=1}^5k^5x_k=0
a
2
k
=
1
∑
5
k
x
k
−
2
a
k
=
1
∑
5
k
3
x
k
+
k
=
1
∑
5
k
5
x
k
=
0
詳しい解説
第1式を a^2、第2式を -2a 倍して第3式を加える。右辺は0である。各 x_k の係数をまとめると次の和になる。
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