MathLabs

第6問

正八角形の対頂点を A,E とする。蛙は A から出発し、E に着くまで隣接頂点へ跳ぶ。ちょうど n 回で E に着く道の数を a_n とすると、a2n−1=0a_{2n-1}=0 および a2n=(2+2)n−1−(2−2)n−12a_{2n}=\frac{(2+\sqrt{2})^{n-1}-(2-\sqrt{2})^{n-1}}{\sqrt{2}}（n=1,2,3,…n=1,2,3,\ldots）を証明せよ。
ステップ 3/5: 第3段階
前のステップ次のステップ
a2n=2a2n−2+2b2n−2,b2n=2b2n−2+a2n−2⟹un=4un−1−2un−2a_{2n}=2a_{2n-2}+2b_{2n-2},\quad b_{2n}=2b_{2n-2}+a_{2n-2}\Longrightarrow u_n=4u_{n-1}-2u_{n-2}
詳しい解説

頂点 C から E への長さ m の道の数を b_m とする。二段階の遷移から a2n=2a2n−2+2b2n−2a_{2n}=2a_{2n-2}+2b_{2n-2}、b2n=2b2n−2+a2n−2b_{2n}=2b_{2n-2}+a_{2n-2} を得る。b を消去すると un=4un−1−2un−2u_n=4u_{n-1}-2u_{n-2}（un=a2nu_n=a_{2n}）となる。