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第1問

三角形 ABCABC の内部の点を PP とし、PP から直線 BCBC, CACA, ABAB に下ろした垂線の足をそれぞれ DD, EE, FF とする。BCPD+CAPE+ABPF\dfrac{BC}{PD} + \dfrac{CA}{PE} + \dfrac{AB}{PF} が最小となる PP の位置をすべて求めよ。
ステップ 1/5: PP を通して三角形の面積を分割する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

三角形の内部のどこにいても、辺に下ろした3本の高さから常に同じ全体の面積が復元される。この一定の「予算」をコーシー・シュワルツ不等式が利用する。

SABC=12(BC⋅PD+CA⋅PE+AB⋅PF)S_{ABC} = \tfrac12\big(BC\cdot PD + CA\cdot PE + AB\cdot PF\big)
詳しい解説

PP と3つの頂点を結ぶと、△ABC\triangle ABC は △PBC,△PCA,△PAB\triangle PBC,\triangle PCA,\triangle PAB に分割される。それぞれの面積は、PD,PE,PFPD,PE,PF が対応する高さなので 12BC⋅PD\tfrac12 BC\cdot PD、12CA⋅PE\tfrac12 CA\cdot PE、12AB⋅PF\tfrac12 AB\cdot PF である。これらの和は、PP の三角形内部での位置によらない一定の面積 SABCS_{ABC} である。