MathLabs

第1問

三角形 ABCABC の内部の点を PP とし、PP から直線 BCBC, CACA, ABAB に下ろした垂線の足をそれぞれ DD, EE, FF とする。BCPD+CAPE+ABPF\dfrac{BC}{PD} + \dfrac{CA}{PE} + \dfrac{AB}{PF} が最小となる PP の位置をすべて求めよ。
ステップ 2/5: 一定の和を記録する
BC⋅PD+CA⋅PE+AB⋅PF=2SABC(constant)BC\cdot PD + CA\cdot PE + AB\cdot PF = 2S_{ABC}\quad(\text{constant})
詳しい解説

ステップ1より、加重和 BC⋅PD+CA⋅PE+AB⋅PFBC\cdot PD + CA\cdot PE + AB\cdot PF は PP が三角形内部を動いても変化せず、常に 2SABC2S_{ABC} に等しい。