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国際数学オリンピック
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1981年
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第1問
第1問
三角形
A
B
C
ABC
A
B
C
の内部の点を
P
P
P
とし、
P
P
P
から直線
B
C
BC
B
C
,
C
A
CA
C
A
,
A
B
AB
A
B
に下ろした垂線の足をそれぞれ
D
D
D
,
E
E
E
,
F
F
F
とする。
B
C
P
D
+
C
A
P
E
+
A
B
P
F
\dfrac{BC}{PD} + \dfrac{CA}{PE} + \dfrac{AB}{PF}
P
D
B
C
+
P
E
C
A
+
P
F
A
B
が最小となる
P
P
P
の位置をすべて求めよ。
ステップ 4/5: 一定の面積和で割る
前のステップ
次のステップ
B
C
P
D
+
C
A
P
E
+
A
B
P
F
≥
(
A
B
+
B
C
+
C
A
)
2
2
S
A
B
C
\frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF} \ge \frac{(AB+BC+CA)^2}{2S_{ABC}}
P
D
B
C
+
P
E
C
A
+
P
F
A
B
≥
2
S
A
B
C
(
A
B
+
B
C
+
C
A
)
2
詳しい解説
コーシー・シュワルツ不等式の左辺の第1因子はステップ2の定数
2
S
A
B
C
2S_{ABC}
2
S
A
B
C
に等しい。したがって両辺をこれで割れば、最小化したい量に対する明示的で一定の下界が得られる。
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