MathLabs

第1問

三角形 ABCABC の内部の点を PP とし、PP から直線 BCBC, CACA, ABAB に下ろした垂線の足をそれぞれ DD, EE, FF とする。BCPD+CAPE+ABPF\dfrac{BC}{PD} + \dfrac{CA}{PE} + \dfrac{AB}{PF} が最小となる PP の位置をすべて求めよ。
ステップ 5/5: 等号成立の場合を特定する
前のステップ次のステップ
PD=PE=PF  ⟺  P=I (the incenter)PD = PE = PF \iff P = I \text{ (the incenter)}
詳しい解説

コーシー・シュワルツ不等式で等号が成立するのは、PD=PE=PFPD=PE=PF、すなわち PP が三辺から等距離にある場合に限る。三辺を含む直線から等距離にある点は内心と3つの傍心だが、三角形の内部にあるのは内心だけである。したがって最小値は P=IP=I でのみ達成される。

よくある間違い. PD=PE=PFPD=PE=PF なら、辺を含む直線までの距離という意味では3つの傍心も条件を満たす。しかし傍心は △ABC\triangle ABC の外部にあるため、「PP が三角形の内部にある」という条件によって内心だけが残る。