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第3問

m2+n2m^2+n^2 の最大値を求めよ。ただし、mm と nn は m,n∈{1,2,…,1981}m, n \in \{1, 2, \ldots, 1981\} を満たす整数であり、(n2−mn−m2)2=1(n^2-mn-m^2)^2 = 1 とする。
ステップ 1/6: m,nm,n に対する基本的な制約
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

極値となる対を探す前に、すべての解が持つ形、すなわち互いに素で第2成分が第1成分以上であることを確定する。

(n2−mn−m2)2=1  ⟹  gcd⁡(m,n)=1 and n≥m(n^2-mn-m^2)^2=1 \implies \gcd(m,n)=1 \text{ and } n\ge m
詳しい解説

m,nm,n の共通の素因数があれば、その平方が n2−mn−m2n^2-mn-m^2 を割り切ることになり、この値が ±1\pm1 であることに矛盾する。よって gcd⁡(m,n)=1\gcd(m,n)=1。もし n<mn<m なら n(n−m)−m2≤−n−m2≤−2n(n-m)-m^2\le -n-m^2\le -2 となり、n2−mn−m2=±1n^2-mn-m^2=\pm1 に矛盾する。したがってすべての正の整数解は n≥mn\ge m を満たす。