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第3問

m2+n2m^2+n^2 の最大値を求めよ。ただし、mm と nn は m,n∈{1,2,…,1981}m, n \in \{1, 2, \ldots, 1981\} を満たす整数であり、(n2−mn−m2)2=1(n^2-mn-m^2)^2 = 1 とする。
ステップ 3/6: ユークリッドの互除法で降下する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

ユークリッドの互除法が整数の対を段階的に最大公約数へ簡約するのと同様に、この降下は任意の解の対をフィボナッチ数列の基点まで簡約する。

(m,n)↦(n−m,m) reverses the recurrence(m,n) \mapsto (n-m, m) \text{ reverses the recurrence}
詳しい解説

ステップ2の関係を逆向きにたどると、n>m>1n>m>1 を満たす任意の解 (m,n)(m,n) から、より小さい解 (n−m,m)(n-m,m) が得られる。m,nm,n は正の整数なので、この降下は必ず停止する。直接確認すると、停止できる最小の解は (1,1)(1,1) と (1,2)(1,2) だけである。