MathLabs

第6問

関数 f(x,y)f(x,y) はすべての非負整数 x,yx,y に対して次を満たす。f(0,y)=y+1,f(0,y) = y+1, f(x+1,0)=f(x,1),f(x+1,0) = f(x,1), f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))f(x+1,y+1) = f\big(x, f(x+1,y)\big) f(4,1981)f(4,1981) を求めよ。
ステップ 3/7: x=2x=2 の段階を解く
前のステップ次のステップ
f(2,0)=f(1,1)=3,f(2,y+1)=f(1,f(2,y))=f(2,y)+2  ⟹  f(2,y)=2y+3f(2,0)=f(1,1)=3,\quad f(2,y+1)=f(1,f(2,y))=f(2,y)+2 \implies f(2,y)=2y+3
詳しい解説

規則 (2) より、ステップ2を用いて f(2,0)=f(1,1)=1+2=3f(2,0)=f(1,1)=1+2=3。規則 (3) より、再びステップ2を用いて f(2,y+1)=f(1,f(2,y))=f(2,y)+2f(2,y+1)=f(1,f(2,y))=f(2,y)+2。初期値 33 を持つこの漸化式を解くと f(2,y)=2y+3f(2,y)=2y+3 となる。