第6問

関数

f(x,y)

はすべての非負整数

x,y

に対して次を満たす。

f(0,y) = y+1,

f(x+1,0) = f(x,1),

f(x+1,y+1) = f\big(x, f(x+1,y)\big)

f(4,1981)

を求めよ。

ステップ 5/7:

x=4

の段階を累乗塔として組み立てる

前のステップ次のステップ

f(4,0)+3 = 2^{2^{2}}=16,\quad f(4,y+1)+3 = 2^{\,f(4,y)+3}

詳しい解説

規則 (2) とステップ4より、 $f(4,0)=f(3,1)=2^{1+3}-3=13$ 。よって $f(4,0)+3=16=2^{2^{2}}$ であり、これは3個の $2$ からなる累乗塔（高さ $0+3=3$ ）である。規則 (3) とステップ4より、 $f(4,y+1)=f(3,f(4,y))=2^{f(4,y)+3}-3$ 、したがって $f(4,y+1)+3=2^{f(4,y)+3}$ 。つまり、 $y$ が1増すごとに塔に $2$ が1個加わる。