この問題全体は一つの観察に基づいている。差 f(m+n)−f(m)−f(n)f(m+n)-f(m)-f(n)f(m+n)−f(m)−f(n) は決して負にならないため、分割は fff の値を助けることはあっても、決して損なうことはない。
仮定より f(m+n)−f(m)−f(n)f(m+n)-f(m)-f(n)f(m+n)−f(m)−f(n) は常に 000 または 111、すなわち常に ≥0\ge 0≥0 以上である:fff は優加法的であり、f(m+n)≥f(m)+f(n)f(m+n)\ge f(m)+f(n)f(m+n)≥f(m)+f(n) が成り立つ。m=n=1m=n=1m=n=1 とおくと f(2)≥2f(1)f(2)\ge 2f(1)f(2)≥2f(1)。f(2)=0f(2)=0f(2)=0 であり fff は非負値しかとらないので、f(1)=0f(1)=0f(1)=0 である。