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国際数学オリンピック · 1982年

問題

  1. 第1問関数 f(n)f(n) は正の整数上で定義され、非負整数値をとる。f(2)=0f(2)=0、f(3)>0f(3)>0、f(9999)=3333f(9999)=3333 であり、任意の m,nm,n に対して f(m+n)−f(m)−f(n)=0 or 1.f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ or } 1. が成り立つ。f(1982)f(1982) を求めよ。解答: 1
  2. 第2問非二等辺三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の辺を a1a_1、a2a_2、a3a_3 とし、辺 aia_i は頂点 AiA_i の対辺であるとする。MiM_i を辺 aia_i の中点とし、TiT_i を三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の内接円が辺 aia_i に接する点とする。SiS_i を角 TiT_i の内角の二等分線に関して対称移動した点を AiA_i とする。直線 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 が一点で交わることを証明せよ。解答: 1
  3. 第3問正の実数からなる無限数列 {xn}\{x_n\} で、x0=1x_0=1 かつ x0≥x1≥x2≥⋯x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots を満たすものを考える。(a) このような任意の数列について、ある n≥1n\ge1 が存在して Sn=x02x1+x12x2+⋯+xn−12xn≥3.999S_n=\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999 となることを証明せよ。(b) すべての nn に対して Sn<4S_n<4 となるそのような数列を一つ求めよ。解答: 1
  4. 第4問正整数 nn について、方程式 x3−3xy2+y3=nx^3-3xy^2+y^3=n が整数解 (x,y)(x,y) をもつなら、少なくとも3個の整数解をもつことを示せ。n=2891n=2891 のとき整数解がないことを示せ。解答: 1
  5. 第5問正六角形 ABCDEFABCDEF の対角線 ACAC と CECE を、それぞれ内部の点 MM と NN が AMAC=CNCE=r\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r を満たすように分ける。B,M,NB,M,N が一直線上にあるとき、rr を求めよ。解答: 1
  6. 第6問一辺の長さが 100100 の正方形を SS とする。LL は SS 内にある自己交差しない単純閉折れ線で、線分 A0A1,A1A2,…,An−1AnA_0A_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n からなり、A0=AnA_0=A_n とする。SS の境界上の任意の点 PP が LL 上のある点から距離高々 1/21/2 にあると仮定する。LL 上に二点 X,YX,Y が存在し、その距離が高々 11 であり、XX と YY の間の LL の一方の部分の長さが少なくとも 198198 となることを証明せよ。解答: 1