この証明全体の要となる挟み撃ちである。優加法性のみから作った下限が、与えられた唯一の厳密な大きな値による上限とちょうど一致し、fff の無数の値が一挙に確定する。
m=3k, n=3m=3k,\,n=3m=3k,n=3 に対する優加法性より、数列 ak=f(3k)a_k=f(3k)ak=f(3k) は各段階で少なくとも 111 ずつ増加するので、すべての ak≥a1+(k−1)=ka_k\ge a_1+(k-1)=kak≥a1+(k−1)=k に対して k≥1k\ge1k≥1。ところが a3333=f(9999)=3333a_{3333}=f(9999)=3333a3333=f(9999)=3333 はこの下限にちょうど等しい。もしどこか一段階で 222 以上増加すれば a3333a_{3333}a3333 は 333333333333 を超えてしまい矛盾する。したがって各段階の増分はちょうど 111 であり、すべての f(3k)=kf(3k)=kf(3k)=k に対して 1≤k≤33331\le k\le33331≤k≤3333 である。