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第2問

非二等辺三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の辺を a1a_1、a2a_2、a3a_3 とし、辺 aia_i は頂点 AiA_i の対辺であるとする。MiM_i を辺 aia_i の中点とし、TiT_i を三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の内接円が辺 aia_i に接する点とする。SiS_i を角 TiT_i の内角の二等分線に関して対称移動した点を AiA_i とする。直線 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 1/8: 頂点 A1A_1 での反射は内接円を保ち、二つの接点を入れ替える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

内接円はここでの自然な鏡である。内心を固定する反射は自動的に内接円を固定するので、接点は同じ円上の別の点にしか移らない。

T1→ reflect in A1I S1,T2⟷T3T_1 \xrightarrow{\ \text{reflect in } A_1I\ } S_1, \qquad T_2 \longleftrightarrow T_3
詳しい解説

II を内心、ω\omega を内接円とする。角 A1A_1 の内角の二等分線に関する反射は II を固定するので ω\omega も固定し、A1A_1 を通る二辺 A1A2A_1A_2 と A1A3A_1A_3 を入れ替える。定義によりこの反射は T1T_1 を S1S_1 に移す。また T2T_2、T3T_3 を含む二辺を入れ替えるので、この二つの接点も互いに入れ替わる。