MathLabs

第2問

非二等辺三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の辺を a1a_1、a2a_2、a3a_3 とし、辺 aia_i は頂点 AiA_i の対辺であるとする。MiM_i を辺 aia_i の中点とし、TiT_i を三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の内接円が辺 aia_i に接する点とする。SiS_i を角 TiT_i の内角の二等分線に関して対称移動した点を AiA_i とする。直線 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 2/8: 二つの反射から S1T3=S2T3S_1T_3=S_2T_3 が分かる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの独立な反射が同じ弦の長さを二通りの方法で表しており、SS 点と TT 点の間の長さの等式がただちに得られる。

S1T3=T1T2(reflection in A1I),S2T3=T1T2(reflection in A2I)S_1T_3 = T_1T_2 \quad\text{(reflection in }A_1I\text{)}, \qquad S_2T_3 = T_1T_2 \quad\text{(reflection in }A_2I\text{)}
詳しい解説

反射は ω\omega 上の弦の長さを保つので、ステップ1により弦 T1T2T_1T_2 は弦 S1T3S_1T_3 に移り、S1T3=T1T2S_1T_3=T_1T_2。同様に、角 A2A_2 の二等分線に関する反射は ω\omega を固定し、T2T_2 を S2S_2 に移し、T1↔T3T_1\leftrightarrow T_3 を入れ替えるので、弦 T1T2T_1T_2 は弦 T3S2T_3S_2 に移り、S2T3=T1T2S_2T_3=T_1T_2 となる。よって S1T3=S2T3S_1T_3=S_2T_3。