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第2問

非二等辺三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の辺を a1a_1、a2a_2、a3a_3 とし、辺 aia_i は頂点 AiA_i の対辺であるとする。MiM_i を辺 aia_i の中点とし、TiT_i を三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の内接円が辺 aia_i に接する点とする。SiS_i を角 TiT_i の内角の二等分線に関して対称移動した点を AiA_i とする。直線 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 3/8: 弦の長さが等しいことから T3T_3 は弧の中点となり、S1S2∥A1A2S_1S_2\parallel A_1A_2 が従う
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

円に関する純粋な事実——弧の中点における接線はその弦と平行である——が、代数的な長さの等式を、実際に必要な幾何学的な平行性に変換してくれる。

S1T3=S2T3 ⇒ T3 bisects arc S1S2 ⇒ S1S2∥A1A2S_1T_3=S_2T_3 \ \Rightarrow\ T_3 \text{ bisects arc } S_1S_2 \ \Rightarrow\ S_1S_2 \parallel A_1A_2
詳しい解説

S1T3=S2T3S_1T_3=S_2T_3 上で弦が等しい ω\omega ということは、T3T_3 が弧 S1S2S_1S_2 の中点であることを意味する。ω\omega における T3T_3 の接線はまさに辺 A1A2A_1A_2 である(T3T_3 はその辺上の接点として定義されているため)。そして弧の中点における接線は常にその弧を張る弦と平行である。したがって S1S2∥A1A2S_1S_2\parallel A_1A_2。