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第2問

非二等辺三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の辺を a1a_1、a2a_2、a3a_3 とし、辺 aia_i は頂点 AiA_i の対辺であるとする。MiM_i を辺 aia_i の中点とし、TiT_i を三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の内接円が辺 aia_i に接する点とする。SiS_i を角 TiT_i の内角の二等分線に関して対称移動した点を AiA_i とする。直線 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 4/8: 議論を巡回させる:三組の辺すべてが平行になる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

この配置全体は3回対称性を持つので、一組の平行な辺を証明して添字を付け替えれば、三組すべてが一度に証明される。

S1S2∥M1M2,S2S3∥M2M3,S3S1∥M3M1S_1S_2\parallel M_1M_2, \quad S_2S_3\parallel M_2M_3, \quad S_3S_1\parallel M_3M_1
詳しい解説

三角形の中点連結定理により M1M2∥A1A2M_1M_2\parallel A_1A_2(二辺の中点を結ぶ線分は第三辺に平行)であるから、ステップ3と合わせて S1S2∥M1M2S_1S_2\parallel M_1M_2 となる。添字を (1,2,3)→(2,3,1)(1,2,3)\to(2,3,1)、(3,1,2)(3,1,2) と巡回させてステップ1〜3を繰り返すと、S2S3∥M2M3S_2S_3\parallel M_2M_3 および S3S1∥M3M1S_3S_1\parallel M_3M_1 が得られる。