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第2問

非二等辺三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の辺を a1a_1、a2a_2、a3a_3 とし、辺 aia_i は頂点 AiA_i の対辺であるとする。MiM_i を辺 aia_i の中点とし、TiT_i を三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の内接円が辺 aia_i に接する点とする。SiS_i を角 TiT_i の内角の二等分線に関して対称移動した点を AiA_i とする。直線 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 5/8: 対応する辺がすべて平行であるということは、二つの三角形はホモテティー(相似拡大)か平行移動の関係にある
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

三辺すべての平行性は強い剛性条件であり、ある点からの拡大縮小か平行移動かの二つの可能性しか残さない。

△S1S2S3 and △M1M2M3 have pairwise parallel sides ⇒ homothetic or translates\triangle S_1S_2S_3 \text{ and } \triangle M_1M_2M_3 \text{ have pairwise parallel sides} \ \Rightarrow\ \text{homothetic or translates}
詳しい解説

二つの三角形が対応する三組の辺をそれぞれ平行に持つならば、一方は他方のホモテティー(負の比を含む)または平行移動による像である、というのは標準的な事実である。ステップ4はまさにこの仮定を S1S2S3S_1S_2S_3 と M1M2M3M_1M_2M_3 について、対応 Si↔MiS_i\leftrightarrow M_i のもとで確立している。