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第2問

非二等辺三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の辺を a1a_1、a2a_2、a3a_3 とし、辺 aia_i は頂点 AiA_i の対辺であるとする。MiM_i を辺 aia_i の中点とし、TiT_i を三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の内接円が辺 aia_i に接する点とする。SiS_i を角 TiT_i の内角の二等分線に関して対称移動した点を AiA_i とする。直線 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 6/8: 外接円の半径を比較する:内接円と九点円
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

非二等辺という仮定はまさにここで必要となる。これは解答全体でこの仮定が使われる唯一の箇所であり、本質的である——正三角形の場合、二つの円は一致してしまい、この議論は成り立たなくなる(その場合、共通の中心で自明に共点となる)。

r=circumradius of S1S2S3,R2=circumradius of M1M2M3,R>2rr = \text{circumradius of } S_1S_2S_3, \quad \tfrac{R}{2} = \text{circumradius of } M_1M_2M_3, \quad R>2r
詳しい解説

S1,S2,S3S_1,S_2,S_3 はすべて内接円 ω\omega 上にある(ステップ1)ので、半径 ω\omega の rr が △S1S2S3\triangle S_1S_2S_3 の外接円である。中点三角形 M1M2M3M_1M_2M_3 の外接円は △A1A2A3\triangle A_1A_2A_3 の九点円であり、その半径は R/2R/2 を RR の外接半径として △A1A2A3\triangle A_1A_2A_3 である。オイラーの不等式は R≥2rR\ge 2r を与え、等号は正三角形のときのみ成り立つ。△A1A2A3\triangle A_1A_2A_3 は明示的に非二等辺三角形(したがって正三角形でもない)なので、R>2rR>2r が真の不等号で成り立ち、R/2≠rR/2\ne r となる。