MathLabs

第2問

非二等辺三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の辺を a1a_1、a2a_2、a3a_3 とし、辺 aia_i は頂点 AiA_i の対辺であるとする。MiM_i を辺 aia_i の中点とし、TiT_i を三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の内接円が辺 aia_i に接する点とする。SiS_i を角 TiT_i の内角の二等分線に関して対称移動した点を AiA_i とする。直線 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 7/8: 半径が異なることから平行移動は排除され、真のホモテティーだけが残る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

外接半径というたった一つの数値不変量を比較するだけで、幾何学的な場合分けの中の一つの場合(平行移動)を丸ごと排除できる。

R/2≠r ⇒ △S1S2S3 and △M1M2M3 are not congruent ⇒ the relation is a genuine homothetyR/2 \ne r \ \Rightarrow\ \triangle S_1S_2S_3 \text{ and } \triangle M_1M_2M_3 \text{ are not congruent} \ \Rightarrow\ \text{the relation is a genuine homothety}
詳しい解説

平行移動は大きさを保つので、二つの三角形が合同であること、特に外接半径が等しいことを要求する。ステップ6により半径 rr と R/2R/2 は異なるので、平行移動はあり得ない。ステップ5により残る唯一の可能性は、ある比 k≠1,−1k\ne 1,-1(ここでは k=r/(R/2)≠±1k=r/(R/2)\ne \pm1)とある中心 PP を持つ真のホモテティーであり、△M1M2M3\triangle M_1M_2M_3 を △S1S2S3\triangle S_1S_2S_3 として Mi↦SiM_i\mapsto S_i に写す。