MathLabs

第2問

非二等辺三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の辺を a1a_1、a2a_2、a3a_3 とし、辺 aia_i は頂点 AiA_i の対辺であるとする。MiM_i を辺 aia_i の中点とし、TiT_i を三角形 A1A2A3A_1A_2A_3 の内接円が辺 aia_i に接する点とする。SiS_i を角 TiT_i の内角の二等分線に関して対称移動した点を AiA_i とする。直線 M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 が一点で交わることを証明せよ。
ステップ 8/8: ホモテティーの中心が共点となる点である
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

これこそ最初にホモテティーを設定したことの見返りである。中心を通る共点性は自動的に成り立ち、別途論証する必要はない。

M1S1, M2S2, M3S3 concur at the center P of the homothetyM_1S_1,\ M_2S_2,\ M_3S_3 \text{ concur at the center } P \text{ of the homothety}
詳しい解説

中心 PP を持つホモテティーの定義的性質により、任意の点とその像は PP と一直線上にある。Mi↦SiM_i\mapsto S_i について i=1,2,3i=1,2,3 であるから、各直線 MiSiM_iS_i は PP を通る。したがって M1S1M_1S_1、M2S2M_2S_2、M3S3M_3S_3 はすべて PP を通り、すなわち共点であることが示された。