MathLabs

第3問

正の実数からなる無限数列 {xn}\{x_n\} で、x0=1x_0=1 かつ x0≥x1≥x2≥⋯x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots を満たすものを考える。(a) このような任意の数列について、ある n≥1n\ge1 が存在して Sn=x02x1+x12x2+⋯+xn−12xn≥3.999S_n=\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999 となることを証明せよ。(b) すべての nn に対して Sn<4S_n<4 となるそのような数列を一つ求めよ。
ステップ 1/4: コーシー・シュワルツを適用する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

多くの分数が二つの単純な和の比にまとまる。

Sn=∑i=1nxi−12xi≥(x0+⋯+xn−1)2x1+⋯+xnS_n=\sum_{i=1}^n\frac{x_{i-1}^2}{x_i}\ge\frac{(x_0+\cdots+x_{n-1})^2}{x_1+\cdots+x_n}
詳しい解説

コーシー・シュワルツのエンゲル形からこの下界を得る。