MathLabs

第3問

正の実数からなる無限数列 {xn}\{x_n\} で、x0=1x_0=1 かつ x0≥x1≥x2≥⋯x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots を満たすものを考える。(a) このような任意の数列について、ある n≥1n\ge1 が存在して Sn=x02x1+x12x2+⋯+xn−12xn≥3.999S_n=\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999 となることを証明せよ。(b) すべての nn に対して Sn<4S_n<4 となるそのような数列を一つ求めよ。
ステップ 2/4: 単調性を使う
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

単調性により分母を中間の項で制御できる。

T=∑i=1n−1xi,xn≤Tn−1,Sn≥(1+T)2T+T/(n−1)=n−1n(1+T)2TT=\sum_{i=1}^{n-1}x_i,\quad x_n\le\frac{T}{n-1},\quad S_n\ge\frac{(1+T)^2}{T+T/(n-1)}=\frac{n-1}{n}\frac{(1+T)^2}{T}
詳しい解説

x1≥⋯≥xnx_1\ge\cdots\ge x_n なので、最後の項は x1,…,xn−1x_1,\ldots,x_{n-1} の平均以下である。さらに x0=1x_0=1 から不等式が得られる。