MathLabs

第3問

正の実数からなる無限数列 {xn}\{x_n\} で、x0=1x_0=1 かつ x0≥x1≥x2≥⋯x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots を満たすものを考える。(a) このような任意の数列について、ある n≥1n\ge1 が存在して Sn=x02x1+x12x2+⋯+xn−12xn≥3.999S_n=\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999 となることを証明せよ。(b) すべての nn に対して Sn<4S_n<4 となるそのような数列を一つ求めよ。
ステップ 3/4: 相加相乗平均で (a) を終える
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

目標 3.9993.999 は極限定数 44 のすぐ下にある。

(1+T)2T=T+2+1T≥4,Sn≥4n−1n\frac{(1+T)^2}{T}=T+2+\frac1T\ge4,\quad S_n\ge4\frac{n-1}{n}
詳しい解説

相加相乗平均より T+1/T≥2T+1/T\ge2。したがって Sn≥4(n−1)/nS_n\ge4(n-1)/n。n=4000n=4000 なら右辺は 3.9993.999 で、それ以後はさらに大きい。