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第4問

正整数 nn について、方程式 x3−3xy2+y3=nx^3-3xy^2+y^3=n が整数解 (x,y)(x,y) をもつなら、少なくとも3個の整数解をもつことを示せ。n=2891n=2891 のとき整数解がないことを示せ。
ステップ 1/3: k=y−xk=y-x で式を書き直す
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

三次形式に隠れた三周期を座標差が明らかにする。

k=y−x⟹x3−3xy2+y3=k3−3kx2−x3k=y-x\quad\Longrightarrow\quad x^3-3xy^2+y^3=k^3-3kx^2-x^3
詳しい解説

y=x+ky=x+k を代入して展開すると、方程式は k3−3kx2−x3=nk^3-3kx^2-x^3=n となる。