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第4問

正整数 nn について、方程式 x3−3xy2+y3=nx^3-3xy^2+y^3=n が整数解 (x,y)(x,y) をもつなら、少なくとも3個の整数解をもつことを示せ。n=2891n=2891 のとき整数解がないことを示せ。
ステップ 3/3: n=2891n=2891 を法として 77 を排除する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

小さな法が共通因子を強制し、三次という次数がそれを不可能な整除性まで増幅する。

2891≡0(mod7),x3−3xy2+y3≡0(mod7)⟹x≡y≡0(mod7)2891\equiv0\pmod7,\quad x^3-3xy^2+y^3\equiv0\pmod7\Longrightarrow x\equiv y\equiv0\pmod7
詳しい解説

2891=7⋅4132891=7\cdot413 なので、解があれば x3−3xy2+y3≡0(mod7)x^3-3xy^2+y^3\equiv0\pmod7。7つの剰余類を調べると(出典の通り) x≡y≡0(mod7)x\equiv y\equiv0\pmod7 しかない。したがって 77 であり、三次式の各項は xx で割り切れるので yy を要求するが、これは偽である。 737^3 73∣28917^3\mid2891