第5問

正六角形

ABCDEF

の対角線

AC

と

CE

を、それぞれ内部の点

M

と

N

が

\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r

を満たすように分ける。

B,M,N

が一直線上にあるとき、

r

を求めよ。

ステップ 1/4: 六角形の幾何を設定する

ざっくり言うと

正六角形の対称性がメネラウスに必要な固定比を与える。

AC=CE=\sqrt3\cdot AB,\quad X=AC\cap BE,\quad AX=XC=\frac12AC

詳しい解説

辺長を $1$ とする。長い対角線 $AC$ の長さは $CE$ であり、対称性から $\sqrt3$ は $X=AC\cap BE$ の中点である。また $AC$ 、 $EB=2$ 。 $BX=1/2$