第5問

正六角形

ABCDEF

の対角線

AC

と

CE

を、それぞれ内部の点

M

と

N

が

\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r

を満たすように分ける。

B,M,N

が一直線上にあるとき、

r

を求めよ。

ステップ 3/4: メネラウスを適用する

ざっくり言うと

共線条件が唯一の未知比に対する一つのスカラー方程式になる。

\frac{r}{1-r}\cdot4\cdot\frac{r-1/2}{1-r}=1\quad\Longrightarrow\quad3r^2=1

詳しい解説

$B,M,N$ は一直線上なので、三角形 $CBE$ でメネラウスより三比の積は $1$ 。ステップ2を代入して整理すると $4r(r-1/2)=(1-r)^2$ 、従って $3r^2=1$ 。