MathLabs

第6問

一辺の長さが 100100 の正方形を SS とする。LL は SS 内にある自己交差しない単純閉折れ線で、線分 A0A1,A1A2,…,An−1AnA_0A_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n からなり、A0=AnA_0=A_n とする。SS の境界上の任意の点 PP が LL 上のある点から距離高々 1/21/2 にあると仮定する。LL 上に二点 X,YX,Y が存在し、その距離が高々 11 であり、XX と YY の間の LL の一方の部分の長さが少なくとも 198198 となることを証明せよ。
ステップ 3/5: BB より前に接近された境界点を選ぶ
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

最初の弧が接近できなくなる境界点は、もう一方の弧から接近される。

X′∈A′D′ is the point closest to D′ approached by L1X'\in A'D'\text{ is the point closest to }D'\text{ approached by }L_1
詳しい解説

辺 A′D′A'D' 上で、L1L_1 によって接近される点のうち D′D' に最も近い点を X′X' とし、対応する L1L_1 上の点を XX とする。D′D' は LL には接近されるが L1L_1 には接近されないので、X′X' から D′D' までの部分は空でなく、その相対内部のすべての点は L2L_2 によって接近される。コンパクト性により X′X' 自身も L2L_2 に接近される。