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第6問

一辺の長さが 100100 の正方形を SS とする。LL は SS 内にある自己交差しない単純閉折れ線で、線分 A0A1,A1A2,…,An−1AnA_0A_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n からなり、A0=AnA_0=A_n とする。SS の境界上の任意の点 PP が LL 上のある点から距離高々 1/21/2 にあると仮定する。LL 上に二点 X,YX,Y が存在し、その距離が高々 11 であり、XX と YY の間の LL の一方の部分の長さが少なくとも 198198 となることを証明せよ。
ステップ 4/5: 二点を近づける
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二点はともに X′X' の半径半単位の近傍にあるので、距離は高々一単位。

XY≤XX′+X′Y≤12+12=1XY\le XX'+X'Y\le\frac12+\frac12=1
詳しい解説

X′X' から距離高々 1/21/2 の L2L_2 上の点を YY とする。定義より XX も X′X' から距離高々 1/21/2 なので、三角不等式から XY≤1XY\le1 である。