MathLabs

第6問

一辺の長さが 100100 の正方形を SS とする。LL は SS 内にある自己交差しない単純閉折れ線で、線分 A0A1,A1A2,…,An−1AnA_0A_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n からなり、A0=AnA_0=A_n とする。SS の境界上の任意の点 PP が LL 上のある点から距離高々 1/21/2 にあると仮定する。LL 上に二点 X,YX,Y が存在し、その距離が高々 11 であり、XX と YY の間の LL の一方の部分の長さが少なくとも 198198 となることを証明せよ。
ステップ 5/5: 長い部分経路を得る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

両側から B′B' に到達するにはほぼ全幅を進む必要があるため、近い二点が長い迂回を挟む。

XB≥99,YB≥99⟹length⁡(LXY)≥198XB\ge99,\quad YB\ge99\quad\Longrightarrow\quad\operatorname{length}(L_{XY})\ge198
詳しい解説

BB は B′B' から距離高々 1/21/2、XX は X′X' から距離高々 1/21/2 であり、X′B′≥99X'B'\ge99（辺の長さは 100100 で、X′X' は D′D' から遠い側の辺上にある）だから、XB≥X′B′−1≥99XB\ge X'B'-1\ge99。同様に YB≥99YB\ge99。したがって BB を通る XX から YY への LL の部分の長さは XB+BY≥198XB+BY\ge198 以上である。