MathLabs

第1問

正の実数全体で定義され正の実数値をとる関数 ff で、次の2条件を満たすものをすべて求めよ:(i) すべての正の実数 x,yx, y に対して f(xf(y))=yf(x)f(xf(y)) = yf(x);(ii) x→∞x \to \infty のとき f(x)→0f(x) \to 0。
ステップ 2/6: ff は単射である
前のステップ次のステップ
f(a)=f(b)⇒a f(1)=b f(1)⇒a=bf(a)=f(b) \Rightarrow a\,f(1) = b\,f(1) \Rightarrow a=b
詳しい解説

f(a)=f(b)f(a)=f(b) ならば、さらに ff を適用しステップ1を使うと af(1)=f(f(a))=f(f(b))=bf(1)a f(1) = f(f(a)) = f(f(b)) = b f(1) となる。f(1)>0f(1)>0 なので a=ba=b が従う。よって ff は単射である。