第1問

正の実数全体で定義され正の実数値をとる関数

f

で、次の2条件を満たすものをすべて求めよ:(i) すべての正の実数

x, y

に対して

f(xf(y)) = yf(x)

;(ii)

x \to \infty

のとき

f(x) \to 0

。

ステップ 3/6:

f(1)=1

であり、

f

は対合写像である

f(1)=1,\qquad f(f(y))=y

詳しい解説

(i) に $y=1$ を代入すると $f(xf(1)) = f(x)$ となる。単射性(ステップ2)より、すべての $x>0$ について $xf(1)=x$ 、したがって $f(1)=1$ 。これをステップ1に戻すと $f(f(y))=y$ がすべての $y$ で成り立つ。