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第1問

正の実数全体で定義され正の実数値をとる関数 ff で、次の2条件を満たすものをすべて求めよ:(i) すべての正の実数 x,yx, y に対して f(xf(y))=yf(x)f(xf(y)) = yf(x);(ii) x→∞x \to \infty のとき f(x)→0f(x) \to 0。
ステップ 4/6: 不動点は積についても逆数についても閉じている
前のステップ次のステップ
f(a)=a, f(b)=b ⇒ f(ab)=ab,f ⁣(1a)=1af(a)=a,\ f(b)=b \ \Rightarrow\ f(ab)=ab,\quad f\!\left(\tfrac1a\right)=\tfrac1a
詳しい解説

f(a)=af(a)=a、f(b)=bf(b)=b とする。(i) に x=a,y=bx=a,y=b を代入すると f(ab)=f(af(b))=bf(a)=abf(ab)=f(af(b))=bf(a)=ab となり、abab も不動点である。次に x=1/a,y=ax=1/a, y=a を代入すると 1=f(1)=f(1af(a))=af(1a)1=f(1)=f(\tfrac1a f(a))=a f(\tfrac1a) となり、f(1/a)=1/af(1/a)=1/a、すなわち不動点の逆数もまた不動点である。