第1問

正の実数全体で定義され正の実数値をとる関数

f

で、次の2条件を満たすものをすべて求めよ:(i) すべての正の実数

x, y

に対して

f(xf(y)) = yf(x)

;(ii)

x \to \infty

のとき

f(x) \to 0

。

ステップ 6/6: 結論:

f(x)=1/x

前のステップ次のステップ

f(xf(x))=xf(x)=1 \ \Longrightarrow\ f(x)=\dfrac1x

詳しい解説

(i) に $y=x$ を代入すると $f(xf(x))=xf(x)$ となり、 $xf(x)$ は常に $f$ の不動点である。ステップ5より唯一の不動点は $1$ なので、すべての $x>0$ に対して $xf(x)=1$ 、すなわち $f(x)=1/x$ 。逆に $f(x)=1/x$ は両条件を満たす: $f(xf(y))=f(x/y)=y/x=yf(x)$ 、また $x\to\infty$ で $f(x)=1/x\to0$ 。よって $f(x)=1/x$ が唯一の解である。