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第2問

AA を、中心がそれぞれ O1,O2O_1,O_2 である異なる同一平面上の円 C1,C2C_1,C_2 の二つの交点の一つとする。一方の共通接線は P1,P2P_1,P_2 で接し、他方は Q1,Q2Q_1,Q_2 で接する。M1,M2M_1,M_2 をそれぞれ P1Q1,P2Q2P_1Q_1,P_2Q_2 の中点とする。∠O1AO2=∠M1AM2\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2 を証明せよ。
ステップ 2/5: 接点を結ぶ弦を用いる
前のステップ次のステップ
OiMi⊥PiQi,OiMi⋅OiS=OiPi2=OiA2O_iM_i\perp P_iQ_i,\qquad O_iM_i\cdot O_iS=O_iP_i^2=O_iA^2
詳しい解説

O1O2O_1O_2 に関する反射は二つの共通接線を交換するため、Pi,QiP_i,Q_i を交換する。したがって OiOjO_iO_j は PiQiP_iQ_i の垂直二等分線で、MiM_i は O1O2O_1O_2 上にある。直角三角形 S,Oi,PiS,O_i,P_i の斜辺への高さの関係から OiMi⋅OiS=OiPi2O_iM_i\cdot O_iS=O_iP_i^2。A,PiA,P_i は CiC_i 上なので OiPi=OiAO_iP_i=O_iA である。