第6問

a,b,c

を三角形の辺の長さとする。

a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge0

を証明し、等号成立条件を求めよ。

ステップ 3/5: コーシー・シュワルツの準備

xy^3+yz^3+zx^3=\frac{(y\sqrt{xyz})^2}{z}+\frac{(z\sqrt{xyz})^2}{x}+\frac{(x\sqrt{xyz})^2}{y}

詳しい解説

各項を正の変数で割った平方として書く。分母の和は $x+y+z$ であり、分子の和は $\sqrt{xyz}(x+y+z)$ となるように選ばれている。