第6問

a,b,c

を三角形の辺の長さとする。

a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge0

を証明し、等号成立条件を求めよ。

ステップ 4/5: エンゲル形コーシー・シュワルツを適用する

xy^3+yz^3+zx^3\ge\frac{\bigl(\sqrt{xyz}(x+y+z)\bigr)^2}{x+y+z}=xyz(x+y+z)

詳しい解説

コーシー・シュワルツの $\sum u_i^2/v_i\ge(\sum u_i)^2/\sum v_i$ を使う。ステップ3に適用すれば必要な不等式が得られ、元の式は非負である。