第6問

a,b,c

を三角形の辺の長さとする。

a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge0

を証明し、等号成立条件を求めよ。

ステップ 5/5: 等号成立条件

\frac{y\sqrt{xyz}}{z}=\frac{z\sqrt{xyz}}{x}=\frac{x\sqrt{xyz}}{y}\Longleftrightarrow x=y=z\Longleftrightarrow a=b=c

詳しい解説

コーシー・シュワルツの等号条件は $u_1/v_1=u_2/v_2=u_3/v_3$ 、すなわち $y/z=z/x=x/y$ である。 $x,y,z>0$ だからこれは $x=y=z$ と同値で、 $a=b=c$ を与える。逆に正三角形では各差が零なので、等号は正三角形の場合に限り成立する。