MathLabs

国際数学オリンピック · 1985年

問題

  1. 第1問円に内接する四角形 ABCDABCD の辺 ABAB 上に中心を持つ円があり、残り三辺はすべてこの円に接している。AD+BC=ABAD + BC = AB であることを証明せよ。解答: 1
  2. 第2問nn と kk を、k<nk < n を満たす互いに素な正の整数とする。集合 M={1,2,…,n−1}M = \{1, 2, \ldots, n-1\} の各数を青か白のどちらかで塗り、次を満たすとする：(i) 各 i∈Mi \in M について、ii と n−in-i は同じ色である；(ii) i≠ki \ne k を満たす各 i∈Mi \in M について、ii と ∣i−k∣|i-k| は同じ色である。MM のすべての数が同じ色であることを証明せよ。解答: 1
  3. 第3問整数係数多項式 P(x)=a0+a1x+⋯+akxkP(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k に対し、奇数である係数の個数を w(P)w(P) とする。i=0,1,2,…i=0,1,2,\ldots に対して Qi(x)=(1+x)iQ_i(x)=(1+x)^i とおく。0≤i1<i2<⋯<in0\le i_1<i_2<\cdots<i_n ならば、w(Qi1+Qi2+⋯+Qin)≥w(Qi1)w(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\cdots+Q_{i_n})\ge w(Q_{i_1}) を証明せよ。解答: 1
  4. 第4問19851985 個の相異なる正整数からなる集合 MM があり、そのどの数も 2323 より大きい素因子を持たないとする。MM には、積がある整数の 4 乗となる相異なる四元が存在することを証明せよ。解答: 1
  5. 第5問中心 OO の円が三角形 ABCABC の頂点 AA と CC を通り、線分 ABAB と BCBC にそれぞれ KK と NN で再び交わり、これら二点は異なるとする。ABCABC と KBNKBN の外接円は相異なる二点 BB と MM で交わる。∠OMB\angle OMB が直角であることを証明せよ。解答: 1
  6. 第6問任意の実数 x1x_1 に対して、xn+1=xn(xn+1n)x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right) により数列を定める。すべての nn について 0<xn<xn+1<10<x_n<x_{n+1}<1 となる x1x_1 がただ一つ存在することを証明せよ。解答: 1