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第1問

円に内接する四角形 ABCDABCD の辺 ABAB 上に中心を持つ円があり、残り三辺はすべてこの円に接している。AD+BC=ABAD + BC = AB であることを証明せよ。
ステップ 1/4: 接点に名前をつける
ざっくり言うと

一つの外側の点から出た二本の直線が円にちょうど触れるとき、その二つは必ず同じ距離のところで触れる——一本の杭から同じ長さの二本の綱を振り回して、両方が円形のフェンスに接するようにする様子を思い浮かべるとよい。

CM=CNandDM=DLCM = CN \quad\text{and}\quad DM = DL
詳しい解説

円が ADAD, CDCD, BCBC に接する点をそれぞれ LL, MM, NN とする。同じ外部の点から円へ引いた二本の接線の長さは等しいので、CC からの接線について CM=CNCM=CN、DD からの接線について DM=DLDM=DL が成り立つ。