MathLabs

第1問

円に内接する四角形 ABCDABCD の辺 ABAB 上に中心を持つ円があり、残り三辺はすべてこの円に接している。AD+BC=ABAD + BC = AB であることを証明せよ。
ステップ 2/4: 直線 ADAD 上に補助点を作る
ざっくり言うと

図形の離れた二つの部分をようやく並べて比較できるように、長さをより都合のよい直線上に「写し取る」という、オリンピックの定番テクニックである。

AX=AO,X∈line ADAX = AO,\qquad X\in\text{line } AD
詳しい解説

OO は ABAB 上にあるので、直線 ADAD 上で AA から見て DD と同じ側に AX=AOAX=AO となる点 XX をとる。これにより辺 ABAB 上にあった長さ AOAO が、接点 LL がすでに存在する辺 ADAD 上の長さに置き換えられ、三角形 OMCOMC と直接比較できるようになる。