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第1問

円に内接する四角形 ABCDABCD の辺 ABAB 上に中心を持つ円があり、残り三辺はすべてこの円に接している。AD+BC=ABAD + BC = AB であることを証明せよ。
ステップ 3/4: 円内接四角形の角の関係で二つの直角三角形を対応させる
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

同じ長さの直角の辺と同じ鋭角を持つ二つの直角三角形は、形も大きさも完全に一致せざるを得ない——ちょうど同じ形の三角定規を一つ回転させただけのようなものである。

△OLX≅△OMC ⟹ LX=MC\triangle OLX \cong \triangle OMC \ \Longrightarrow\ LX = MC
詳しい解説

△OLX\triangle OLX と △OMC\triangle OMC はどちらも LL, MM で直角である（半径は接線と 90∘90^\circ で交わる）。さらに OL=OMOL=OM（半径）で辺の長さも等しい。AX=AOAX=AO より三角形 OAXOAX は二等辺三角形なので、∠OXL=90∘−∠A2=180∘−∠A2\angle OXL = 90^\circ-\tfrac{\angle A}{2}=\tfrac{180^\circ-\angle A}{2} となる。ABCDABCD は円に内接するので ∠A+∠C=180∘\angle A+\angle C=180^\circ が成り立ち、これは ∠C2\tfrac{\angle C}{2} に等しい。一方、CM,CNCM,CN は CC からの二本の接線なので OCOC は ∠C\angle C の二等分線であり、∠OCM=∠C2\angle OCM=\tfrac{\angle C}{2} も成り立つ。角と辺が対応して等しいので △OLX≅△OMC\triangle OLX\cong\triangle OMC、したがって LX=MCLX=MC である。