第2問

n

と

k

を、

k < n

を満たす互いに素な正の整数とする。集合

M = \{1, 2, \ldots, n-1\}

の各数を青か白のどちらかで塗り、次を満たすとする：(i) 各

i \in M

について、

i

と

n-i

は同じ色である；(ii)

i \ne k

を満たす各

i \in M

について、

i

と

|i-k|

は同じ色である。

M

のすべての数が同じ色であることを証明せよ。

ステップ 3/5: 第一の場合：規則(ii)を直接適用する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

二番目の点が単に最初の点に $k$ の跳躍を加えただけならば、ある数とその数から $k$ を引いたものを結びつける規則(ii)が、即座に同色であることを教えてくれる。

s=r+k \ \Longrightarrow\ |s-k|=r \ \Longrightarrow\ \text{color}(s)=\text{color}(r)

詳しい解説

$r=r_i$ , $s=r_{i+1}$ とする。 $s=r+k$ ならば $|s-k|=r$ となるので、 $i=s$ に対して彩色規則(ii)を適用すると（この構成では $k$ に等しい添字はただ一つなので $s\ne k$ であり適用できる）、直ちに $s$ と $r=|s-k|$ が同じ色であることが分かる。