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第2問

nn と kk を、k<nk < n を満たす互いに素な正の整数とする。集合 M={1,2,…,n−1}M = \{1, 2, \ldots, n-1\} の各数を青か白のどちらかで塗り、次を満たすとする：(i) 各 i∈Mi \in M について、ii と n−in-i は同じ色である；(ii) i≠ki \ne k を満たす各 i∈Mi \in M について、ii と ∣i−k∣|i-k| は同じ色である。MM のすべての数が同じ色であることを証明せよ。
ステップ 4/5: 第二の場合：規則(i)と(ii)で橋渡しする
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

跳躍が nn を越えて一周するときは直接の結びつきがないので、議論は迂回する：規則(i)を使って rr を nn に関して鏡映させると、規則(ii)が ss と結びつける数にちょうど一致する。

s=r+k−n ⟹ color(r)=color(n−r)=color(k−s)=color(s)s=r+k-n \ \Longrightarrow\ \text{color}(r)=\text{color}(n-r)=\text{color}(k-s)=\text{color}(s)
詳しい解説

もし s=r+k−ns=r+k-n ならば、r=n−(k−s)r=n-(k-s) なので n−r=k−sn-r=k-s である。規則(i)より color(r)=color(n−r)=color(k−s)\text{color}(r)=\text{color}(n-r)=\text{color}(k-s)。規則(ii)を i=si=s に適用すると color(s)=color(∣s−k∣)=color(k−s)\text{color}(s)=\text{color}(|s-k|)=\text{color}(k-s)（ここで s<ks<k）となる。二つの等式をつなげると、やはり color(r)=color(s)\text{color}(r)=\text{color}(s) が得られる。