第4問

1985

個の相異なる正整数からなる集合

M

があり、そのどの数も

23

より大きい素因子を持たないとする。

M

には、積がある整数の 4 乗となる相異なる四元が存在することを証明せよ。

ステップ 3/4: 平方根をもう一度分類する

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

平方根にも同じ圧縮を行う。偶奇の箱より平方根の数が多いので、二つは同じパターンに入る。

s_j=t_j^2,\qquad t_j\mapsto(\text{prime exponents of }t_j)\pmod2

詳しい解説

各平方積の組について $x_jy_j=s_j^2$ と書く。平方根 $s_j$ を素因子指数の偶奇ベクトルで分類する。類は再び $2^9$ 個しかないのに、平方根は $2^9+1$ 個あるので、例えば $s_p,s_q$ が同じ類になる二つがある。したがって $s_ps_q$ は平方数、すなわち $u^2$ である。