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第5問

中心 OO の円が三角形 ABCABC の頂点 AA と CC を通り、線分 ABAB と BCBC にそれぞれ KK と NN で再び交わり、これら二点は異なるとする。ABCABC と KBNKBN の外接円は相異なる二点 BB と MM で交わる。∠OMB\angle OMB が直角であることを証明せよ。
ステップ 1/4: 根軸中心を定める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

三円からは、二円の冪が等しくなる三本の直線が生じる。根軸定理は、それら三直線が一つの釣り合い点で交わると述べる。

AC,KN,BM are concurrent at XAC,KN,BM\text{ are concurrent at }X
詳しい解説

ABCABC の外接円、KBNKBN の外接円、中心 OO の与えられた円を考える。それらの二円ごとの根軸はそれぞれ BMBM, KNKN, ACAC である。根軸定理より三直線は一点で交わる。その点を XX とする。