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第5問

中心 OO の円が三角形 ABCABC の頂点 AA と CC を通り、線分 ABAB と BCBC にそれぞれ KK と NN で再び交わり、これら二点は異なるとする。ABCABC と KBNKBN の外接円は相異なる二点 BB と MM で交わる。∠OMB\angle OMB が直角であることを証明せよ。
ステップ 2/4: 角追いで第二の円周四边形を得る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

最初の三円から新しい四点円が現れる。角の等しさは第四点も同じ円周上にある合図である。

X,M,N,C are concyclicX,M,N,C\text{ are concyclic}
詳しい解説

A,C,K,NA,C,K,N は与えられた円周上にあり、B,K,M,NB,K,M,N は第二の外接円周上にあるので、MM と CC の角を比較する。一直線上の点の順序に応じて、有向角の追跡から ∠XMN=180∘−∠XCN\angle XMN=180^\circ-\angle XCN（もう一つの配置では同値な補角の形）が得られる。従って X,M,N,CX,M,N,C は同一円周上にある。