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第5問

中心 OO の円が三角形 ABCABC の頂点 AA と CC を通り、線分 ABAB と BCBC にそれぞれ KK と NN で再び交わり、これら二点は異なるとする。ABCABC と KBNKBN の外接円は相異なる二点 BB と MM で交わる。∠OMB\angle OMB が直角であることを証明せよ。
ステップ 3/4: 二つの点の冪の等式を書く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

点の冪は図形を二つの距離の積に変える。同じ根軸中心の配置から二つの積が現れるため比較できる。

XM⋅XB=XO2−ON2,BM⋅BX=BO2−ON2XM\cdot XB=XO^2-ON^2,\qquad BM\cdot BX=BO^2-ON^2
詳しい解説

X,M,N,CX,M,N,C が同一円周上なので、交わる弦（割線）の定理より XM⋅XB=XK⋅XNXM\cdot XB=XK\cdot XN。右辺は中心 OO の円に関する XX の冪なので XO2−ON2XO^2-ON^2 に等しい。同様に B,K,N,MB,K,N,M を通る円に関する BB の冪から BM⋅BX=BN⋅BC=BO2−ON2BM\cdot BX=BN\cdot BC=BO^2-ON^2 を得る。