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第5問

中心 OO の円が三角形 ABCABC の頂点 AA と CC を通り、線分 ABAB と BCBC にそれぞれ KK と NN で再び交わり、これら二点は異なるとする。ABCABC と KBNKBN の外接円は相異なる二点 BB と MM で交わる。∠OMB\angle OMB が直角であることを証明せよ。
ステップ 4/4: 差をとり垂直性を認識する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

最後の距離の等式は隠れたピタゴラスの関係である。MM からの距離の二乗を展開すると交差項がゼロになり、二方向が垂直だと分かる。

XM2−BM2=XO2−BO2XM^2-BM^2=XO^2-BO^2
詳しい解説

ステップ3の二式を引くと XM⋅XB−BM⋅BX=XO2−BO2XM\cdot XB-BM\cdot BX=XO^2-BO^2。X,M,BX,M,B は一直線上なので左辺は XB(XM−BM)=XM2−BM2XB(XM-BM)=XM^2-BM^2 である。従って XO2−XM2=BO2−BM2XO^2-XM^2=BO^2-BM^2。MM を原点とするベクトルで書けば、この等式は MO⃗⋅MB⃗=0\vec{MO}\cdot\vec{MB}=0 と同値であり、展開すると ∣MO⃗+MX⃗∣2−∣MX⃗∣2=∣MB⃗+MX⃗∣2−∣MX⃗∣2|\vec{MO}+\vec{MX}|^2-|\vec{MX}|^2=|\vec{MB}+\vec{MX}|^2-|\vec{MX}|^2 となる。したがって OM⊥BMOM\perp BM、すなわち ∠OMB=90∘\angle OMB=90^\circ。